지뢰찾기 1-2-1 패턴과 확률 계산

지뢰찾기는 운에 기대는 게임처럼 보이지만, 판의 대부분은 숫자를 차근차근 읽으면 답이 정해집니다. 빠른 사람과 느린 사람의 차이는 대개 같은 모양을 얼마나 빨리 알아보느냐에서 납니다. 이 글은 이 사이트의 지뢰찾기 코드를 기준으로 자주 나오는 패턴과 조작 요령, 그리고 정말 찍어야 할 때 확률을 세는 방법을 정리합니다. 패턴의 결론과 확률은 가능한 지뢰 배치를 컴퓨터로 모두 세어 확인했습니다.

한눈에 보기

우리 게임의 규칙에서 알아 둘 것

• 첫 클릭은 항상 안전합니다. 지뢰는 첫 칸을 누른 뒤에 배치되고, 누른 칸과 그 주변 8칸에는 놓이지 않습니다. 그래서 첫 칸은 언제나 0이고 주변이 한꺼번에 열리며 시작합니다. 가운데를 누르면 9칸이 비워지는 셈이라, 남은 칸의 지뢰 비율은 초급 13.9%, 중급 16.2%, 고급 21.0%로 조금 올라갑니다.
• 깃발은 마우스 오른쪽 클릭으로 꽂고 뺍니다. 휴대폰에서는 칸을 길게 누르거나, 위쪽의 '열기 모드' 버튼을 눌러 '깃발 모드'로 바꾼 뒤 탭합니다. 깃발을 꽂은 칸은 눌러도 열리지 않으니 실수로 열 걱정이 없습니다. 첫 칸을 열기 전에는 깃발을 꽂을 수 없습니다.
• 코드(chording): 이미 열린 숫자 칸을 누르면, 그 주변에 꽂힌 깃발 수가 숫자와 같을 때 깃발이 없는 나머지 주변 칸이 한꺼번에 열립니다. 깃발 모드에서도 열린 숫자를 탭하면 똑같이 동작합니다. 깃발 하나가 틀렸다면 그대로 지뢰가 열리니, 확실한 곳에만 깃발을 꽂아야 합니다.
• '남은 지뢰' 숫자는 전체 지뢰 수에서 꽂은 깃발 수를 뺀 값입니다. 깃발을 잘못 꽂아도 줄어들기 때문에 실제로 남은 지뢰와 다를 수 있습니다.
• 지뢰가 아닌 칸을 모두 열면 이깁니다. 모든 지뢰에 깃발을 꽂을 필요는 없습니다.

기본기: 이미 찾은 지뢰를 빼고 읽기

모든 패턴의 출발점은 한 가지 셈입니다. 숫자는 주변 8칸의 지뢰 수이므로, 주변에서 이미 확실해진 지뢰를 빼면 남은 닫힌 칸에 몇 개가 더 있는지 알 수 있습니다. 3 옆에 깃발이 하나 있다면 나머지 닫힌 칸에는 지뢰가 2개 남아 있고, 이 3은 사실상 2로 읽으면 됩니다.

여기서 바로 두 가지 규칙이 나옵니다.

1. 남은 지뢰 수가 남은 닫힌 칸 수와 같으면, 그 칸들은 모두 지뢰입니다.
2. 남은 지뢰 수가 0이면, 남은 닫힌 칸은 모두 안전합니다.

아래 패턴들은 이 두 규칙을 이웃한 숫자 두세 개에 겹쳐 쓴 결과입니다. 깃발이 붙은 숫자를 이렇게 줄여 읽으면, 복잡해 보이는 줄도 1-2-1이나 1-2-2-1로 바뀌는 경우가 많습니다.

1-1과 1-2: 벽에서 시작하는 두 패턴

닫힌 칸이 한 줄로 늘어서 있고, 그 앞에 숫자가 줄지어 있으며, 숫자의 나머지 이웃은 모두 열려 있는 상황을 생각해 보겠습니다. 벽(판의 가장자리) 바로 옆의 숫자는 닫힌 칸 두 개만 보고, 그다음 숫자부터는 세 개씩 봅니다.

• 1-1: 벽 옆의 1은 첫째·둘째 칸 가운데 하나가 지뢰라고 말합니다. 그 옆의 1은 첫째·둘째·셋째 칸에 지뢰가 하나뿐이라고 말합니다. 하나뿐인 지뢰가 이미 앞의 두 칸에 있으니 셋째 칸은 안전합니다.
• 1-2: 같은 모양에서 둘째 숫자가 2라면, 세 칸에 지뢰가 두 개인데 앞의 두 칸에는 많아야 하나뿐이므로 셋째 칸이 지뢰입니다.

두 패턴은 숫자 하나만 다른데 결론이 정반대입니다. 공통점은 '작은 숫자가 보는 칸들이 큰 숫자가 보는 칸들 안에 들어 있다'는 점입니다. 이 관계는 벽이 아니어도, 한쪽 칸이 이미 열려 있어 숫자가 보는 닫힌 칸이 줄어든 곳이라면 어디서든 똑같이 쓸 수 있습니다.

1-2-1과 1-2-2-1: 긴 줄에서 가장 자주 보이는 모양

• 1-2-1: 양쪽 1 앞의 칸이 지뢰이고, 가운데 2 앞의 칸과 양 끝 바깥 칸은 안전합니다. 왼쪽 1과 2가 함께 보는 두 칸에는 지뢰가 많아야 하나이므로, 2의 두 번째 지뢰는 2만 보는 칸, 곧 오른쪽 1 앞에 있어야 합니다. 오른쪽에서 같은 논리를 쓰면 왼쪽 1 앞도 지뢰입니다. 2의 지뢰 두 개가 모두 정해졌으니 가운데는 안전하고, 두 1도 이미 지뢰를 하나씩 찾았으니 양 끝 바깥 칸도 안전합니다.
• 1-2-2-1: 두 2 앞의 칸이 지뢰이고, 두 1 앞의 칸과 양 끝 바깥 칸은 안전합니다. 양쪽 끝에서 같은 논리를 한 번씩 쓰면 왼쪽 2의 두 번째 지뢰는 오른쪽 2 앞에, 오른쪽 2의 두 번째 지뢰는 왼쪽 2 앞에 있어야 합니다. 두 2 앞이 모두 지뢰로 정해지면 네 숫자가 모두 채워지므로 나머지 칸은 안전합니다.

두 패턴 모두 가능한 지뢰 배치가 딱 하나뿐이라, 보이는 순간 깃발과 열기를 한꺼번에 처리할 수 있습니다. 지뢰찾기 기록을 겨루는 사람들이 모이는 사이트에서도 이 두 모양을 가장 먼저 외우라고 권합니다.

코드로 시간 줄이기

지뢰를 확실히 찾았다면 깃발을 꽂고, 숫자와 주변 깃발 수가 같아진 숫자 칸을 누르세요. 주변의 나머지 칸이 한 번에 열립니다. 1-2-1이라면 두 1 앞에 깃발을 꽂은 뒤 가운데 2를 한 번 누르면 2 앞의 칸이 열리고, 양쪽 1을 누르면 바깥 칸까지 열립니다.

한 칸씩 누르는 것보다 클릭 수가 크게 줄고, '이 칸이 정말 안전한가'를 칸마다 다시 따지지 않아도 됩니다. 다만 코드는 깃발이 맞다는 전제에서만 안전합니다. 확신이 없는 곳에 깃발을 꽂고 코드를 쓰면 그대로 지는 경우가 많으니, 애매할 때는 깃발 대신 안전한 칸을 하나씩 여는 편이 낫습니다.

첫 클릭은 가운데가 유리합니다

가장자리나 모서리부터 누르라는 조언은 첫 칸만 안전하고 0이 나온다는 보장은 없는 게임에서 나온 것입니다. 그런 게임에서는 가장자리로 갈수록 0이 나와 판이 열릴 확률이 높고, 열리는 넓이는 가운데로 갈수록 커집니다. 우리 게임은 첫 칸과 주변 8칸을 모두 비워 두므로 어디를 눌러도 0이 나옵니다. 그러면 따질 것은 한 번에 얼마나 넓게 열리느냐뿐입니다.

우리 게임과 같은 방식으로 판을 만든 뒤, 컴퓨터가 확실한 칸만 여는 방식으로(남은 지뢰 수를 이용한 추론까지 포함해) 끝까지 풀 수 있었던 판의 비율을 세어 보았습니다. 초급은 5,000판, 중급은 2,000판, 고급은 1,000판씩입니다.

모서리를 누르면 비워지는 칸이 4칸뿐이라 첫 열림이 작고, 그만큼 초반에 찍어야 하는 상황이 자주 생깁니다. 가운데를 누르면 첫 열림이 훨씬 넓고, 찍지 않고 끝까지 풀리는 판도 모든 난이도에서 더 많았습니다. 고급은 어디를 눌러도 80% 넘는 판에서 한 번 이상은 찍어야 했다는 점도 눈여겨볼 만합니다. 지뢰 밀도가 어느 선을 넘으면 논리 추론만으로는 거의 풀 수 없게 된다는 실험 결과도 보고되어 있습니다.

찍어야 할 때: 남은 지뢰 수까지 넣어 확률 세기

논리로 더 열 칸이 없으면 찍어야 합니다. 이때도 아무 칸이나 누르는 것과 가장 안전한 칸을 고르는 것은 큰 차이가 납니다. 아래는 우리 게임 초급 판에서 실제로 나온 장면입니다. 확실한 지뢰에는 모두 깃발을 꽂았고, 더는 확실한 칸이 없습니다.

남은 지뢰는 3개, 닫힌 칸은 9개입니다. 숫자가 알려 주는 사실을 정리하면 이렇습니다.

1. 둘째 줄의 3은 A와 B 가운데 하나가, 셋째 줄의 3과 2는 A와 C 가운데 하나가 지뢰라고 말합니다. 그러니 가능한 경우는 'A 하나만 지뢰'이거나 'B와 C가 지뢰'인 두 가지뿐입니다.
2. 셋째 줄 왼쪽의 1과 3은 D와 E 가운데 하나가 지뢰라고 말합니다. 어느 쪽이든 여기서 쓰는 지뢰는 1개입니다.
3. 맨 윗줄 왼쪽 4칸은 어떤 숫자와도 닿아 있지 않습니다. 남은 지뢰가 있다면 여기에 있습니다.

경우가 둘이니 A가 지뢰일 확률도 반반처럼 보입니다. 하지만 두 경우는 남은 지뢰를 쓰는 방식이 다릅니다. A 하나만 지뢰라면 A와 D·E에 2개를 쓰고, 나머지 1개는 윗줄 4칸 가운데 어딘가에 있어야 합니다(4가지). B와 C가 지뢰라면 D·E까지 3개를 모두 써서 윗줄에는 지뢰가 없습니다(1가지). 여기에 D·E 쪽의 두 가지를 곱하면 A가 지뢰인 배치는 8가지, B와 C가 지뢰인 배치는 2가지로, 전체 10가지 가운데 A는 8가지에서 지뢰입니다.

• A: 8/10 = 80%
• B, C: 각각 2/10 = 20%
• 윗줄 4칸: 8가지 배치에서 지뢰 하나가 네 칸 중 한 곳에 있으므로, 칸마다 (8 × 1/4) ÷ 10 = 20%
• D, E: 각각 50%

반반처럼 보이던 A가 실제로는 80%로 가장 위험하고, 20%짜리 칸이 여섯 개 있습니다. 같은 20%라면 열었을 때 얻는 정보가 많은 칸을 고르세요. 예를 들어 C를 열어 안전하면 'A 하나만 지뢰'인 경우로 정해지므로 A에 깃발을 꽂고 B를 열 수 있습니다. 이 확률은 숫자와 모순되지 않는 지뢰 배치를 컴퓨터로 모두 세어 검산했고, 조건에 맞는 배치는 정확히 10가지였습니다.

일반적인 순서로 정리하면 다음과 같습니다.

1. 숫자가 닿는 닫힌 칸들에서 가능한 경우를 모두 적습니다.
2. 경우마다 지뢰를 몇 개 쓰는지 보고, 남은 지뢰를 숫자와 닿지 않은 칸에 나눠 놓는 방법의 수를 곱합니다.
3. 칸마다 지뢰인 배치의 비율을 계산해 가장 낮은 칸을 고릅니다.

2번이 핵심입니다. 숫자와 닿지 않은 칸의 지뢰 비율을 p라고 하면, 지뢰를 하나 더 쓰는 경우는 그렇지 않은 경우보다 대략 p ÷ (1 − p)배만큼만 일어납니다. 지뢰 비율이 20%라면 4분의 1 정도입니다. 지뢰찾기의 지뢰 비율은 어느 난이도든 50%보다 한참 낮으므로, 같은 숫자를 설명하는 방법이 여러 가지일 때는 지뢰를 적게 쓰는 쪽이 더 그럴듯하다고 보는 것이 좋은 어림입니다.

경우를 세는 일은 닫힌 칸이 많을수록 빠르게 어려워집니다. 주어진 숫자와 모순되지 않는 지뢰 배치가 있는지 판정하는 문제 자체가 NP-완전이라는 증명도 있습니다. 실전에서는 숫자가 닿는 좁은 구역만 세고, 나머지는 위의 어림으로 비교하면 충분합니다.

끝으로, 어떤 계산으로도 50%에서 줄지 않는 진짜 반반이 남았다면 미루지 말고 먼저 찍는 편이 낫습니다. 어차피 한 번은 찍어야 하는 칸이라면, 판을 거의 다 푼 뒤에 틀리는 것보다 일찍 틀리는 편이 잃는 시간이 적습니다. 다만 그 칸의 이웃이 아직 닫혀 있어 나중에 정보가 들어올 수 있다면, 다른 곳을 먼저 푸는 것이 먼저입니다.

흔한 실수

1. 숫자를 깃발만큼 줄여 읽지 않기. 깃발 옆의 숫자를 원래 값 그대로 읽으면 뻔한 1-2-1도 보이지 않습니다.
2. 확신 없이 깃발 꽂고 코드 쓰기. 틀린 깃발 하나가 코드를 통해 바로 패배로 이어집니다.
3. 1-1과 1-2를 거꾸로 적용하기. 두 패턴은 숫자 하나 차이로 결론이 반대입니다. 셋째 칸을 열기 전에 둘째 숫자가 1인지 2인지 한 번 더 확인하세요.
4. 찍을 칸을 확률 없이 고르기. 같은 숫자 옆이라도 앞의 예처럼 80%와 20%가 섞여 있을 수 있습니다. 경우를 다 세기 어렵다면 '지뢰를 적게 쓰는 설명이 더 그럴듯하다'는 어림과, 숫자와 닿지 않은 칸의 지뢰 확률은 대략 '남은 지뢰 ÷ 남은 닫힌 칸'이라는 어림만이라도 써서 비교하세요.
5. '남은 지뢰' 숫자를 그대로 믿기. 깃발을 잘못 꽂았다면 이 숫자도 틀립니다. 막판 계산에 쓰기 전에 깃발이 모두 확실한지 먼저 확인하세요.

연습 방법

• 초급에서 깃발 없이 풀어 보기. 깃발을 꽂지 않고 숫자만 줄여 읽으며 안전한 칸만 여는 연습을 하면, 머릿속으로 지뢰 수를 빼는 셈이 빨라집니다.
• 패턴 이름 붙이기. 판을 볼 때마다 "여기는 1-2-1", "여기는 벽에서 1-1"처럼 소리 내어 이름을 붙이면 알아보는 속도가 붙습니다.
• 코드는 초급에서 익히기. 초급은 지뢰가 적어 깃발이 틀릴 일이 적습니다. 여기서 코드를 손에 익힌 뒤 중급으로 넘어가세요.
• 찍기 전에 경우의 수 세어 보기. 막힐 때마다 위의 순서대로 두세 가지 경우만이라도 세어 보면, 어느 칸이 덜 위험한지 감이 생깁니다.
• 첫 클릭은 가운데. 우리 게임에서는 가운데를 눌러야 첫 열림이 넓고 찍을 일이 줄어듭니다.

정리

지뢰찾기의 논리는 '숫자에서 이미 찾은 지뢰를 뺀다'는 셈 하나에서 시작합니다. 여기에 1-1, 1-2, 1-2-1, 1-2-2-1 네 가지 모양을 익히면 대부분의 판이 빠르게 풀리고, 코드를 쓰면 클릭 수도 크게 줄어듭니다. 우리 게임은 첫 칸 주변 8칸까지 비워 두므로 첫 클릭은 가운데가 유리합니다. 그래도 막혔다면 가능한 배치를 세되 남은 지뢰 수까지 넣어 계산하세요. 반반처럼 보이던 칸이 80%일 수도 있습니다. 배운 패턴은 지뢰찾기 초급에서 바로 확인해 볼 수 있습니다.

참고 자료

• 위키백과: Minesweeper (video game)
• 위키백과: 지뢰 찾기
• Kaye (2000). Minesweeper is NP-complete! The Mathematical Intelligencer 22(2)
• Dempsey, R., Guinn, C. (2020). A Phase Transition in Minesweeper. arXiv:2008.04116
• Authoritative Minesweeper: 패턴
• Authoritative Minesweeper: 첫 클릭
• Authoritative Minesweeper: 찍기