사과 게임, 짝부터 지울까 크게 묶을까

사과 게임을 몇 판 하다 보면 두 갈래로 손이 갈립니다. 1과 9, 3과 7처럼 눈에 띄는 짝을 빠르게 지우는 쪽, 그리고 1+2+3+4처럼 작은 숫자를 여러 개 한꺼번에 묶는 쪽입니다. 점수는 지운 사과 개수라서 크게 묶을수록 한 번에 많이 오르지만, 작은 숫자를 다 써 버리면 나중에 9와 8이 짝을 못 찾고 남습니다.

어느 쪽이 나은지는 감으로 말하기 어렵습니다. 그래서 이 사이트의 사과 게임 엔진을 그대로 불러와, 같은 1,000판을 여러 방식으로 끝까지 풀게 했습니다. 계산 조건은 글 아래쪽 '계산 조건' 항목에 적었습니다.

한눈에 보기

모두 같은 1,000판의 평균입니다. 판에는 사과가 170개 있고, 어느 방식도 170개를 전부 지운 판은 없었습니다.

규칙에서 출발하기

사과 게임 판은 가로 17칸, 세로 10칸에 사과 170개가 깔린 채로 시작합니다. 사과마다 1부터 9까지 숫자가 적혀 있고, 엔진은 각 숫자를 같은 확률로 뽑습니다. 1,000판을 세어 보니 숫자별 비율이 모두 11.0~11.2%였습니다.

드래그로 사각형을 그려 안에 든 숫자의 합이 딱 10이면, 묶인 사과가 한꺼번에 사라지고 사과 하나당 1점을 받습니다. 사과가 사라진 칸은 0으로 치기 때문에, 판이 비어 갈수록 멀리 떨어진 사과끼리도 묶을 수 있습니다. 한 판은 2분이고, 힌트를 누르면 5초가 깎입니다.

첫 판에서 합 10을 만드는 서로 다른 묶음은 평균 54.4개였습니다. 적은 판은 35개, 많은 판은 84개였습니다. 판마다 출발점이 꽤 다르다는 뜻이고, 친구와 점수를 비교할 때 오늘의 사과판처럼 같은 배치를 쓰는 편이 공정한 이유이기도 합니다.

크게 묶으면 빨리 오르고 일찍 막힙니다

표의 첫 줄과 마지막 줄을 나란히 보면 흐름이 보입니다.

매번 가장 큰 묶음을 고르면 한 번에 평균 2.53개를 지웁니다. 20번 만에 58.6개, 30번 만에 79.7개까지 올라갑니다. 대신 평균 38.6번 묶고 나면 더 묶을 곳이 없어 판이 끝납니다. 최종 97.8개입니다.

두 개짜리 짝부터 지우면 한 번에 평균 2.21개로 느리게 오릅니다. 30번 묶었을 때는 60.4개로 크게 묶기보다 19개 넘게 뒤집니다. 그런데 평균 52.1번까지 묶을 곳이 이어지고, 끝까지 가면 114.9개로 크게 묶기보다 17개 넘게 앞섭니다.

이유는 남는 사과를 보면 알 수 있습니다. 크게 묶기로 끝난 판에서 남은 사과의 20.8%가 9, 18.6%가 8이었습니다. 1은 2.5%, 2는 3.9%뿐이었습니다. 1+2+3+4 같은 큰 묶음이 작은 숫자를 빨아들이는 동안, 9와 8은 짝이 될 1과 2를 잃고 판에 고립됩니다. 짝부터 지우기도 남는 사과는 큰 숫자 쪽으로 기울지만(9가 17.4%, 1이 4.6%) 그 정도가 덜합니다.

섞어 쓰면 나을까

처음 20번은 크게 묶다가 그다음부터 짝으로 바꾸는 방식도 돌려 봤습니다. 결과는 최종 98.1개로 크게 묶기만 한 것(97.8개)과 거의 같았습니다. 30번까지 크게 묶다가 바꿔도 97.8개였습니다.

앞에서 작은 숫자를 이미 다 써 버리면, 나중에 방식을 바꿔도 짝을 만들 재료가 남아 있지 않다는 뜻입니다. 이 계산에서는 두 방식을 적당히 섞는 것이 양쪽의 장점을 모두 가져오지 못했습니다.

그래서 나는 어느 쪽일까

갈림길은 2분 동안 몇 번 묶을 수 있느냐입니다. 표를 다시 보면 크게 묶기는 최종 97.8개에서 멈추는데, 짝부터 지우기는 40번 때 83.6개, 46번 때 97.3개였고 47번째 묶음 무렵 이 숫자를 넘어섭니다. 가장 작은 사각형 방식은 조금 더 일러서 44번 때 97.6개였습니다.

• 2분에 40번 안팎 묶는다면: 묶음 하나에 3초 정도 쓰는 속도입니다. 이 구간에서는 크게 묶기가 줄곧 앞섭니다. 판을 끝까지 비울 시간이 없으니 한 번에 많이 지우는 쪽이 이득입니다.
• 2분에 47번 넘게 묶는다면: 묶음 하나에 2.5초 남짓입니다. 판이 막히는 시점까지 갈 수 있으니, 작은 숫자를 아끼는 짝부터 지우기가 최종 점수를 더 끌어올립니다.

처음 몇 판은 점수보다 묶은 횟수를 세어 보는 것이 도움이 됩니다. 한 판 끝나고 점수를 한 번에 지운 평균 개수로 나누면 대략 몇 번 묶었는지 나옵니다. 크게 묶었는데 판이 먼저 막혔다면 손이 빠른 편이니 짝 위주로 바꿔 볼 만합니다.

크게 묶을 때 쓸 만한 모양

크게 묶기를 고른다면 합 10을 네 개 이상으로 만드는 숫자 조합을 눈에 익혀 두면 빠릅니다.

8과 9는 네 개 이상 묶음에 들어갈 수 없고, 7이 들어가면 나머지는 1 세 개뿐입니다. 대부분 1~4가 뭉친 곳에서 나옵니다. 판에서 작은 숫자가 뭉친 곳을 찾는 눈이 곧 크게 묶기의 실력입니다.

계산 조건

• 게임 엔진: 이 사이트 사과 게임의 engine.ts를 그대로 불러와 판 만들기(createBoard)와 지우기(clearRect) 규칙을 썼습니다.
• 판: 난수 시드 1~1,000으로 만든 17×10 판 1,000개. 모든 방식이 같은 판을 풀었습니다.
• 매 수마다 합이 10이고 사과가 2개 이상인 사각형을 모두 찾은 뒤, 방식별 기준으로 하나를 골랐습니다. 같은 사과들을 묶는 사각형은 하나로 셌습니다.
• 가장 큰 묶음: 사과 수가 가장 많은 것
• 가장 작은 사각형: 넓이가 가장 작은 것 (게임 힌트 버튼과 같은 기준)
• 큰 숫자 먼저: 가장 큰 숫자가 든 것, 같으면 사과 수가 적은 것
• 짝부터: 사과 수가 가장 적은 것, 같으면 넓이가 작은 것
• 시간 제한 없이 더 묶을 곳이 없을 때까지 진행했고, 20·30·40번째 묶음 뒤의 누적 개수를 따로 기록했습니다. 그 전에 판이 끝난 경우는 끝난 시점 개수를 그대로 썼습니다.
• 사람이 사각형을 찾는 데 걸리는 시간, 힌트 사용, 합을 틀려 흔들리는 시간은 넣지 않았습니다. 앞을 여러 수 내다보는 탐색도 하지 않았으니, 이보다 잘 푸는 방법은 얼마든지 있을 수 있습니다.

흔한 실수

9와 8을 뒤로 미루기. 9는 1과만, 8은 2 또는 1+1과만 10이 됩니다. 옆에 1이나 2가 보일 때 먼저 지워 두지 않으면, 그 1과 2는 다른 묶음에 쓰이고 9와 8만 남습니다. 두 방식 모두 남는 사과의 3분의 1 이상이 8과 9였습니다.

가장자리를 방치하기. 사각형은 빈칸을 가로질러 묶을 수 있어서, 판이 비어 갈수록 멀리 있는 사과끼리 묶을 길이 늘어납니다. 가운데만 파다 보면 모서리 사과가 끝까지 남기 쉽습니다.

합이 넘친 채로 손 떼기. 합이 10을 넘으면 사각형이 빨갛게 바뀝니다. 그 상태로 손을 떼면 아무것도 지워지지 않고 시간만 갑니다. 사각형을 한 칸 줄이면 10이 되는 경우가 많으니 떼기 전에 한 번 더 봅니다.

힌트를 습관처럼 누르기. 힌트 한 번에 5초가 깎입니다. 묶음 하나에 3초 걸리는 속도라면 힌트 한 번이 묶음 한두 개 값입니다. 힌트는 가장 작은 사각형 하나를 보여 주는데, 이는 표의 둘째 줄 방식과 같은 기준입니다.

연습 방법

1. 오늘의 사과판으로 한 판 하고, 점수와 대략의 묶은 횟수를 적습니다.
2. 같은 판을 다음 날 다른 방식으로 해 볼 수는 없으니, 며칠 동안 크게 묶기와 짝부터 지우기를 번갈아 해 보고 평균 점수를 비교합니다.
3. 처음 10초는 판 전체를 훑으며 1~4가 뭉친 곳과 9·8 옆의 1·2를 찾는 데만 씁니다.
4. 판이 막히기 전에 시간이 끝나는 날이 많다면 크게 묶기, 시간이 남았는데 판이 막히는 날이 많다면 짝부터 지우기가 맞는 쪽입니다.

정리

같은 1,000판에서 크게 묶기는 30번 만에 평균 79.7개를 지워 빨리 올랐지만 38.6번 만에 판이 막혀 97.8개에서 멈췄습니다. 짝부터 지우기는 느리게 오르는 대신 52.1번까지 이어져 114.9개를 지웠습니다. 2분 안에 40번 안팎 묶는다면 크게 묶기, 47번 넘게 묶는다면 짝부터 지우기가 유리해지는 구조입니다. 어느 쪽이든 9와 8의 짝은 일찍 지워 두는 것이 공통된 요령입니다.

참고 자료

• 사과 게임 엔진 소스 (engine.ts)