숫자야구는 몇 번 만에 맞힐 수 있을까

숫자야구는 운보다 질문을 고르는 솜씨가 결과를 좌우하는 게임입니다. 같은 비밀 번호라도 어떤 순서로 던지느냐에 따라 네 번 만에 끝나기도 하고 여덟 번을 넘기기도 합니다. 이 글은 이 사이트의 숫자야구 규칙을 코드로 확인한 뒤, 가능한 비밀 번호를 모두 늘어놓고 컴퓨터로 전수 계산한 결과를 바탕으로 적은 횟수로 맞히는 요령을 정리합니다.

한눈에 보기

우리 게임의 규칙과 경우의 수

• 3자리와 4자리 모드가 있습니다. 비밀 번호는 0~9 가운데 서로 다른 숫자로 만들어지고, 0으로 시작할 수도 있습니다.
• 추측도 서로 다른 숫자로만 입력할 수 있고, 이미 던진 숫자는 다시 던질 수 없습니다.
• 숫자와 자리가 모두 맞으면 스트라이크(S), 숫자는 있지만 자리가 다르면 볼(B), 겹치는 숫자가 하나도 없으면 OUT입니다.
• 10회 안에 모든 자리를 맞히면 이깁니다.
• '오늘의 숫자로 하기'를 누르면 한국 시간 기준 하루 동안 모두에게 같은 비밀 번호가 나옵니다.
• 숫자 버튼을 오른쪽 클릭하면 그 숫자에 줄이 그어져 '없는 숫자'로 표시해 둘 수 있습니다.

0을 쓸 수 있으므로 3자리는 10 × 9 × 8 = 720가지, 4자리는 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040가지입니다. 종이로 할 때처럼 1~9만 쓰기로 하면 504가지와 3,024가지로 줄어드니, 다른 곳에서 익힌 요령을 가져올 때는 이 차이를 기억해 두세요.

우리 게임은 0을 포함한 열 개 숫자가 어느 자리에나 똑같이 올 수 있어서 재미있는 성질이 하나 생깁니다. 첫 질문은 무엇을 던지든 결과의 분포가 똑같습니다. 123을 던지든 507을 던지든, 3자리라면 OUT이 나올 확률은 똑같이 210/720입니다. 720가지 첫 질문을 모두 넣어 계산해 확인했습니다. 첫 수는 고민할 필요가 없고, 두 번째 수부터가 진짜 승부입니다.

한 번의 답이 주는 정보

3자리에서 첫 질문의 답은 9가지 가운데 하나입니다. 가장 흔한 결과는 1B(252가지, 35%)와 OUT(210가지, 29%)이고, 1S가 126가지(18%)로 뒤를 잇습니다. 2S 1B는 나올 수 없습니다. 두 자리가 맞았는데 남은 한 숫자까지 비밀 번호에 들어 있다면, 그 숫자가 갈 곳은 남은 한 자리뿐이라 스트라이크가 되기 때문입니다. 4자리에서 3S 1B가 나오지 않는 것도 같은 이유입니다.

이 분포는 한 번의 답으로 얻는 정보가 생각보다 적다는 것을 보여 줍니다. 결과가 9가지로 고르게 나뉜다면 첫 질문 뒤 평균 80개가 남겠지만, 실제로는 1B와 OUT에 몰려 있어 평균 180개가 남습니다. 정보 이론의 말로 옮기면, 720가지 가운데 하나를 가려내는 데 필요한 정보는 약 9.5비트인데 첫 답이 주는 정보는 평균 2.25비트로, 결과가 9가지인 질문이 이론상 줄 수 있는 최대치 3.17비트에도 못 미칩니다. 4자리는 필요한 정보가 약 12.3비트, 첫 답이 주는 정보가 평균 2.77비트입니다.

그래서 좋은 질문의 기준은 하나입니다. 어떤 답이 나와도 남는 후보가 비슷하게 적도록, 가능한 답이 고르게 나뉘는 질문을 고르는 것입니다. 한쪽 결과가 나올 것이 뻔한 질문은 거의 아무것도 알려 주지 않습니다.

두 번째 질문 고르는 법

첫 질문은 모두 같으니 012를 던졌다고 해 보겠습니다. 결과마다 남는 후보와, 720가지 질문을 모두 따져 찾은 좋은 두 번째 질문(던진 뒤 평균 남는 후보가 가장 적은 질문 가운데 하나)은 다음과 같습니다.

표에서 규칙이 보입니다.

• OUT이면 012는 모두 버리고 새 숫자 세 개를 던집니다(345).
• 볼이 나왔다면 012 가운데 일부를 자리를 옮겨 다시 쓰고, 나머지 자리는 새 숫자로 채웁니다(1B → 103, 2B → 123).
• 스트라이크가 나왔다면 한 숫자는 제자리에 두고 나머지를 새 숫자로 바꿉니다(1S → 034).

한 번의 질문으로 '어떤 숫자가 들어 있는가'와 '어느 자리인가'를 동시에 묻는 셈입니다. 옛 숫자를 옮겨 쓰면 자리에 대한 정보가, 새 숫자를 섞으면 어떤 숫자가 있는지에 대한 정보가 함께 들어옵니다.

실제 예시: 비밀 번호 507을 6번 만에

사람이 흔히 쓰는 방식으로 풀어 본 예시입니다. 각 단계의 후보 수는 조건에 맞는 번호를 컴퓨터로 모두 세어 확인했습니다.

세 번째 수까지는 겹치지 않는 숫자로 숫자의 정체를 확인하고, 네 번째 수에서 자리를 좁힌 뒤, 다섯 번째 수로 남은 후보를 모두 갈랐습니다. 4회가 끝났을 때 남은 후보는 507, 570, 590, 904, 905, 940의 여섯 개였고, 570을 던지면 여섯 개가 모두 다른 결과를 내기 때문에 5회의 답만 보면 정답을 확실히 알 수 있습니다.

이 방식은 논리가 깔끔하지만 가장 빠르지는 않습니다. 2회가 끝난 72개 상황에서 789를 던지면 평균 17.0개가 남지만, 컴퓨터가 고른 047(앞서 던진 4를 자리를 옮겨 다시 쓰고 아직 안 던진 0과 7을 섞은 수)을 던지면 평균 13.8개가 남습니다. 789는 결과가 OUT일 수 없는 질문이기도 합니다. 남은 두 숫자가 0·7·8·9 가운데 있다는 것을 이미 알기 때문에 7·8·9가 모두 빠질 수는 없습니다. 이미 아는 사실을 다시 묻는 몫만큼 정보가 줄어드는 것입니다.

전략별 평균과 최악 횟수

비밀 번호를 모두(3자리 720가지, 4자리 5,040가지) 하나씩 정해 두고, 전략마다 끝까지 풀게 해 몇 번 만에 맞히는지 세었습니다. 표에서 '가장 잘 나누는 수'는 던진 뒤 평균 남는 후보가 가장 적은 수, '정보량이 가장 큰 수'는 가능한 답이 가장 고르게 나뉘는 수입니다. '아무거나'가 들어간 전략은 무작위가 섞이므로 3자리는 200번, 4자리는 30번 반복한 평균이고, 최악은 반복하는 동안 나온 가장 긴 경우입니다.

'첫 두 수를 겹치지 않게'는 3자리에서 123과 456, 4자리에서 0123과 4567을 차례로 던지는 방식입니다.

표에서 읽을 수 있는 것을 정리하면 다음과 같습니다.

• 후보만 던져도 10회는 넉넉합니다. 표의 어느 전략이든 3자리·4자리 모두 모든 번호를 10회 안에 맞혔고, 앞선 결과와 맞는 후보를 아무렇게나 골라 던지는 방식도 가장 길었던 경우가 9회였습니다. 10회를 넘긴다면 앞선 결과와 맞지 않는 수를 던지고 있을 가능성이 큽니다.
• 3자리는 첫 두 수를 겹치지 않게 던지는 것이 효과적입니다. 123과 456으로 시작하고 이후 잘 나누는 후보를 고르면 평균 5.04회로, 컴퓨터가 매번 전체를 따진 결과(5.02~5.07회)와 거의 같습니다. 사람이 따라 하기 가장 좋은 방법입니다.
• 4자리는 두 번째 수를 첫 결과에 맞춰 바꿔야 합니다. 0123 다음에 무조건 4567을 던지면 오히려 평균이 늘어납니다(5.45~5.58회). 4자리 첫 질문의 결과는 1B(29%)와 2B(25%)가 가장 흔한데, 이때 좋은 두 번째 질문은 1045나 1435처럼 첫 수의 숫자 일부를 옮겨 쓰고 새 숫자를 섞은 수입니다. 계산해 보면 4567이 가장 좋은 두 번째 질문인 것은 첫 결과가 OUT(7%)일 때뿐입니다.
• 후보가 아닌 수가 더 나을 때가 있습니다. 답이 될 수 없는 수는 그 자리에서 맞힐 가능성은 없지만, 후보를 더 고르게 나누어 전체 횟수를 줄이기도 합니다. 앞의 두 번째 질문 표에서 1B 뒤에 고른 103도 답이 될 수 없는 수입니다(103이 답이라면 012의 결과는 2B여야 합니다). 최악을 3자리 6회, 4자리 7회까지 줄인 전략은 모두 이런 수를 섞어 썼습니다.
• 4자리의 이론적 최적값은 평균 약 5.21회입니다. 평균을 가장 줄이는 전략은 26,274 ÷ 5,040 ≈ 5.21회이고, 어떤 번호든 7회 안에 맞힐 수 있다는 것이 증명되어 있습니다. 위 표의 컴퓨터 전략(5.24~5.27회)은 이 한계에 꽤 가깝습니다.

흔한 실수

1. 결과를 이미 아는 질문 던지기. 앞의 예에서 789가 OUT일 수 없었던 것처럼, 답의 일부가 정해진 질문은 그만큼 정보를 덜 줍니다. 던지기 전에 '이 질문에 나올 수 있는 답이 몇 가지이고, 고르게 나뉘는가'를 떠올려 보세요.
2. 앞선 결과와 맞지 않는 수를 무심코 던지기. 후보가 아닌 수도 잘 고르면 도움이 되지만, 대부분은 한 번에 맞힐 기회만 버립니다. 확신이 없으면 앞선 모든 결과와 맞는 후보 가운데서 고르세요. 그것만으로도 평균 5.2~5.5회에 맞힙니다.
3. 4자리에서 0123 다음 무조건 4567 던지기. 두 번째 수는 첫 결과에 맞춰야 합니다. 1B나 2B가 나왔다면 첫 수의 숫자 일부를 자리를 옮겨 다시 쓰세요.
4. 스트라이크와 볼을 한꺼번에 해석하기. 1S 1B처럼 섞인 결과는 '몇 개의 숫자가 들어 있는가(S+B)'와 '그중 몇 개가 제자리인가(S)'를 나눠 적어야 헷갈리지 않습니다.
5. 0을 빼놓고 생각하기. 우리 게임은 0이 첫째 자리에도 올 수 있습니다. 1~9만 쓰는 방식에 익숙하다면 후보를 셀 때 0을 잊기 쉽습니다.

연습 방법

• 3자리에서 123과 456으로 시작하기. 두 수의 결과만으로 어떤 숫자가 들어 있는지 대부분 정리됩니다. 세 번째 수부터는 후보를 직접 적어 보며 푸는 연습을 하세요.
• 남은 후보 어림하기. 한 수를 던질 때마다 남은 후보가 몇 개일지 어림해 보세요. 수십 개 단위로라도 셀 수 있게 되면 좋은 질문이 눈에 보이기 시작합니다.
• 숫자별로 표 그리기. 종이에 0부터 9까지 적고 '있음·없음·모름'과 가능한 자리를 표시하면, 섞인 결과를 해석하기가 훨씬 쉬워집니다. 없는 것으로 확인된 숫자는 게임 화면에서도 오른쪽 클릭으로 줄을 그어 두세요.
• 오늘의 숫자로 비교하기. 오늘의 숫자는 하루 동안 모두에게 같은 비밀 번호가 나오니, 친구와 같은 문제를 몇 번 만에 맞혔는지 비교해 보세요.
• 4자리는 3자리를 5회 안에 푸는 것이 익숙해진 뒤에. 4자리는 경우의 수가 7배라, 3자리에서 두 번째 질문을 고르는 요령이 몸에 밴 뒤 넘어가는 편이 좋습니다.

정리

숫자야구는 질문 하나하나가 남은 후보를 얼마나 고르게 나누느냐의 게임입니다. 우리 게임은 0을 포함한 서로 다른 숫자라 3자리 720가지, 4자리 5,040가지이고, 첫 질문은 무엇을 던지든 같습니다. 두 번째 질문부터는 결과에 맞춰, 맞은 숫자는 자리를 옮기거나 제자리에 두고 나머지는 새 숫자로 채우세요. 앞선 결과와 맞는 후보만 던져도 평균 5회 남짓이면 맞히고, 잘 고르면 3자리는 최악 6회, 4자리는 최악 7회까지 줄일 수 있습니다. 직접 해 보려면 숫자야구에서 3자리 모드부터 시작해 보세요.

참고 자료

• 위키백과: Bulls and cows
• 위키백과: 정보 엔트로피