2048 모서리 전략과 뱀 모양 배열

2048은 규칙을 배우는 데 1분이면 충분하지만, 2048 타일까지 가는 길은 생각보다 깁니다. 아래 시뮬레이션에서 모서리를 지키는 방향 순서만 정해 두고 둔 컴퓨터는 2,000판 가운데 한 번도 1024를 만들지 못했습니다. 운보다 타일을 어디에 두느냐가 결과를 가른다는 뜻입니다. 아래 내용은 이 사이트의 2048이 실제로 동작하는 규칙을 코드로 확인해 정리했고, 표와 그래프의 숫자는 같은 규칙으로 직접 계산하거나 컴퓨터로 수천 판을 끝까지 두어 얻은 값입니다.

한눈에 보기

우리 게임의 규칙에서 알아 둘 것

전략은 규칙에서 나옵니다. 이 사이트의 2048은 다음과 같이 움직입니다.

• 판은 4×4이고, 타일 두 개가 놓인 채로 시작합니다.
• 타일이 하나라도 움직이거나 합쳐지면, 빈칸 가운데 한 곳이 무작위로 골라져 새 타일이 하나 생깁니다. 2가 나올 확률은 90%, 4가 나올 확률은 10%입니다.
• 아무 타일도 움직이지 않는 방향을 누르면 아무 일도 일어나지 않고 새 타일도 생기지 않습니다. 막힌 방향을 눌러 보는 것은 손해가 아닙니다.
• 한 번 이동할 때 타일 하나는 한 번만 합쳐집니다. 4·4·8을 왼쪽으로 밀면 16이 아니라 8·8이 됩니다. 같은 수가 셋이면 미는 방향 쪽 두 개가 먼저 합쳐지고(2·2·2를 오른쪽으로 밀면 오른쪽 끝이 4, 그 옆이 2), 넷이면 두 쌍이 따로 합쳐집니다.
• 두 타일이 합쳐지면 새로 생긴 타일의 숫자만큼 점수가 오릅니다.
• 2048 타일을 만들면 축하 화면이 뜨고, '계속 도전'을 누르면 더 큰 타일에 도전할 수 있습니다. 더 밀 수 있는 방향이 없으면 끝납니다.
• 되돌리기는 없습니다. 대신 진행 상황이 이 브라우저에 자동 저장되니, 급하게 두지 말고 쉬었다가 이어서 두어도 됩니다.

2014년 3월 가브리엘레 치룰리가 공개한 원조 2048도 타일 두 개로 시작하고 새 타일을 90% 대 10%로 만듭니다. 공개된 소스 코드에서 직접 확인할 수 있습니다.

모서리 전략: 가장 큰 타일의 집을 정하기

가장 먼저 할 일은 가장 큰 타일이 머물 모서리를 하나 정하는 것입니다. 이 글은 왼쪽 아래를 기준으로 설명하지만, 어느 모서리든 한 곳을 정해 끝까지 지키는 것이 중요합니다.

모서리가 좋은 이유는 이웃이 적기 때문입니다. 가운데 칸은 네 방향으로 다른 타일과 맞닿아 있어서, 큰 타일이 가운데 있으면 작은 타일들이 그 주위를 둘러싸고 서로 떨어져 버립니다. 모서리 칸은 이웃이 둘뿐이라, 그 두 이웃만 크기가 비슷하게 유지하면 됩니다.

뱀 모양 배열: 한 줄씩 꺾어 가며 작아지게

모서리를 정했다면 그 모서리에서 출발해 숫자가 차례로 작아지도록 놓습니다. 바닥 줄을 1024, 512, 256, 128처럼 오른쪽으로 갈수록 작아지게 채우고, 줄 끝의 128 위에서 방향을 꺾어 64, 32, 16, 8로 이어 가는 식입니다. 위에서 보면 뱀이 구불구불 기어가는 모양이라 흔히 뱀 모양 배열이라고 부릅니다.

이 배열의 장점은 합병이 사슬처럼 이어진다는 데 있습니다. 그림에서 둘째 줄 왼쪽 끝의 8 위에 8이 하나 더 만들어지면 ↓로 합쳐 16이 되고, 옆의 16과 합쳐 32가 되는 식으로 줄을 따라 하나씩 커지다가 결국 바닥 줄의 큰 수까지 닿습니다. 반대로 큰 수와 작은 수가 뒤섞여 있으면, 합치고 싶은 두 타일 사이에 다른 수가 끼어 아무리 밀어도 붙지 않습니다.

완벽한 뱀을 만들 필요는 없습니다. 핵심은 큰 수 옆에는 그다음으로 큰 수가 오게 한다는 한 가지입니다. 512 옆에 2가 박히는 것처럼 이 원칙이 무너지는 순간이 대개 판이 막히기 시작하는 지점입니다.

방향은 셋만, 그중 둘을 주로

왼쪽 아래 모서리를 지킨다면 주로 쓰는 방향은 ←와 ↓입니다. 이 두 방향은 가장 큰 타일을 모서리 쪽으로 누르기만 할 뿐 떼어 내지 않습니다.

→는 조심해서 써야 합니다. 바닥 줄이 네 칸 모두 차 있고 그 안에 합칠 쌍이 없다면 →를 눌러도 바닥 줄은 꿈쩍하지 않으니 안전합니다. 문제는 바닥 줄에 빈칸이 있을 때입니다.

위 그림의 판에서 →를 누르면 바닥 줄 전체가 오른쪽으로 한 칸씩 밀리면서 256이 모서리를 떠납니다. 이때 빈칸은 8개이고 새 타일은 그중 한 곳에 떨어지니, 모서리에 새 타일이 박힐 확률은 1/8입니다. 운 좋게 피하더라도 256을 모서리로 되돌리려면 한 수를 더 써야 합니다. 같은 판에서 ↓를 누르면 위에 있던 4가 내려와 바닥 줄의 빈칸을 메우고, 바닥 줄이 가득 차서 이후의 →도 안전해집니다. 바닥 줄의 빈칸은 옆이 아니라 위에서 채운다고 기억해 두면 좋습니다.

↑는 다른 세 방향이 모두 막혔을 때만 씁니다. 가장 큰 타일 위쪽에 빈칸이 하나라도 있다면 ↑를 누르는 순간 그 타일이 떠오르고, 비워진 모서리에 새 타일이 들어올 수 있습니다. 어쩔 수 없이 ↑를 눌렀는데 모서리가 아직 비어 있다면, 바로 ↓로 큰 타일을 다시 내려 보내세요. 반대로 모서리가 있는 세로줄 네 칸이 모두 차 있고 그 안에 합칠 쌍이 없다면, ↑를 눌러도 모서리 타일은 움직이지 않습니다.

새 타일이 생길 자리를 통제하기

새 타일은 빈칸 가운데 한 곳에 똑같은 확률로 생깁니다. 빈칸이 8개면 각 칸이 1/8, 빈칸이 2개면 1/2입니다. 그래서 빈칸이 적을수록 새 타일이 어디에 떨어질지 예측하기 쉬워지고, 빈칸이 하나뿐이면 새 타일은 반드시 그 자리에 생깁니다.

이 사실을 거꾸로 쓰면 새 타일을 원하는 곳으로 유도할 수 있습니다. 모서리와 바닥 줄은 비우지 않고 빈칸을 뱀의 꼬리 쪽(위의 그림에서는 윗줄)에 모아 두면, 새 타일은 늘 꼬리 쪽에서 태어나 작은 수끼리 합쳐지며 머리 쪽으로 흘러갑니다.

4가 나올 확률 10%도 무시할 수 없습니다. 열 번 움직이면 적어도 한 번 4가 나올 확률이 약 65%입니다(1 − 0.9의 10제곱). 2와 2를 합치려고 남겨 둔 칸에 4가 떨어지면 계획이 틀어지니, 한 칸짜리 틈 하나에 판 전체를 거는 수는 피하는 편이 좋습니다.

숫자로 보는 2048

타일을 합쳐도 판 위 숫자의 합은 변하지 않습니다. 합이 늘어나는 것은 새 타일이 생길 때뿐이고, 새 타일 하나의 평균값은 2 × 0.9 + 4 × 0.1 = 2.2입니다. 그래서 2048 타일 하나를 만들려면 판 위 숫자의 합이 적어도 2048이 되어야 하고, 처음 두 타일을 빼면 평균적으로 900번 넘게 움직여야 합니다.

점수 열은 2만으로 만들었을 때의 점수(2048이면 2048 × 10 = 20,480점)에서, 처음부터 4로 태어나 2+2 합병을 건너뛴 타일(평균 열 개 중 하나)의 몫을 뺀 값입니다. 실제로 아래 시뮬레이션에서 2048을 만든 판들은 평균 1,002번째 이동에서, 점수가 약 20,800점일 때 2048에 도달했습니다. 점수가 1만 점 근처라면 1024 하나를 만들 만큼 온 셈이고, 2048까지는 비슷한 길이 한 번 더 남아 있다는 뜻입니다.

전략별로 얼마나 차이가 날까

같은 규칙으로 컴퓨터가 끝까지 두게 하고, 게임이 끝났을 때 판에 남은 가장 큰 타일을 모았습니다. 정해진 규칙만 따르는 방식은 2,000판씩, 앞을 내다보며 계산하는 방식은 시간이 오래 걸려 300판을 두었습니다.

• 무작위로 누르기: 91%가 128 이하에서 끝났고 512는 한 번도 나오지 않았습니다. 평균 119번 움직이고 끝났습니다.
• 모서리 순서 고정(↓, ←, →, ↑ 순서로 움직일 수 있는 첫 방향): 512까지 간 판이 5%로 늘었지만 1024는 없었습니다.
• 빈칸이 가장 많이 남는 방향: 512 이상이 12%였습니다.
• 모서리 + 빈칸(↓와 ← 가운데 빈칸이 많이 남는 쪽, 둘 다 막히면 →, 그래도 막히면 ↑): 512 이상 15%, 1024 이상 0.25%였습니다.
• 뱀 모양 평가 + 두 수 앞보기: 왼쪽 아래에서 뱀 모양으로 따라가며 칸마다 절반씩 줄어드는 가중치와 빈칸 수로 판을 채점하고, 내 수와 그다음 수까지 새 타일이 생길 수 있는 모든 경우를 따져 방향을 고르게 했습니다. 1024 이상이 83%, 2048 이상이 37%였습니다.

결과가 말해 주는 것은 두 가지입니다. 첫째, 방향 규칙만으로는 부족합니다. 모서리를 지키는 순서를 정하는 것만으로 무작위보다 훨씬 오래 버티지만, 85~95%의 판이 512에 닿기 전에 끝났습니다. 둘째, 같은 모서리 전략이라도 한 수마다 '이 방향으로 밀면 판이 뱀 모양에 가까워지는가, 새 타일은 어디에 떨어질 수 있는가'를 따지기 시작하면 결과가 한두 단계씩 달라집니다. 사람이 둘 때도 마찬가지입니다. 방향 규칙은 뼈대이고, 두세 수 앞을 그려 보는 습관이 2048을 만듭니다.

흔한 실수

1. 급하게 연타하기. 특히 휴대폰에서 스와이프를 연달아 하면 의도하지 않은 방향이 섞여 모서리가 빠지기 쉽습니다. 되돌리기가 없으니 한 번 빠진 모서리는 돌이키기 어렵습니다.
2. 눈에 띄는 쌍부터 합치기. 합칠 수 있는 쌍이 여러 개면 큰 타일 쪽으로 연쇄가 이어지는 쌍을 먼저 고르세요. 윗줄의 작은 쌍을 합치느라 바닥 줄을 흔드는 것은 손해입니다.
3. 바닥 줄의 빈칸을 옆에서 메우기. 앞의 그림처럼 바닥 줄의 빈칸을 →로 메우려 하면 모서리가 빕니다. 빈칸은 위에서 내려 채웁니다.
4. 큰 타일 두 개를 따로 키우기. 512가 서로 떨어진 두 곳에서 자라면 둘을 붙이기 어렵습니다. 두 번째로 큰 타일은 가장 큰 타일 바로 옆에서 키웁니다.
5. 기준 모서리를 바꾸기. 판이 답답하다고 모서리를 옮기면 지금까지 쌓은 순서가 모두 무너집니다.

연습 방법

• 1024까지는 방향 두 개만 써 보기. ←와 ↓만으로 버틸 수 있는 데까지 가 보고, 정말 막혔을 때만 →를 씁니다. 모서리를 지키는 감각이 빨리 잡힙니다.
• 한 판에 한 가지만 신경 쓰기. 어떤 판은 '바닥 줄 가득 채우기'만, 다음 판은 '큰 수 옆에 다음 큰 수'만 지켜 보는 식으로 나눠 연습하면 무엇이 판을 망치는지 보입니다.
• 밀기 전에 빈칸 세기. 이 방향으로 밀면 빈칸이 몇 개 남고, 새 타일이 어디에 떨어질 수 있는지 세어 보는 습관을 들이세요. 빈칸이 하나뿐인 순간에는 새 타일의 위치를 정확히 알 수 있습니다.
• 점수보다 최대 타일을 목표로. 점수는 최대 타일을 따라오므로, 처음에는 512, 다음은 1024처럼 최대 타일을 목표로 잡는 편이 실력이 느는 것을 확인하기 쉽습니다.

정리

2048의 핵심은 가장 큰 타일을 한 모서리에 박아 두고, 그 옆으로 큰 수부터 차례로 뱀처럼 이어 붙이는 것입니다. 주로 두 방향을 쓰고, 세 번째 방향은 바닥 줄이 가득 찼을 때만, 네 번째 방향은 마지막 수단으로 남겨 두세요. 새 타일은 빈칸 중 무작위 한 곳에 2(90%)나 4(10%)로 생기므로, 빈칸을 뱀의 꼬리 쪽에 모아 두면 새 타일이 태어날 곳을 통제할 수 있습니다. 방향 규칙만으로는 512를 넘기기 어렵고, 매 수마다 두세 수 앞을 그려 보는 습관이 2048로 가는 길입니다. 읽은 내용은 2048에서 바로 연습해 볼 수 있습니다.

참고 자료

• Gabriele Cirulli, 2048 소스 코드 저장소(GitHub)
• 2048 원본의 새 타일 생성 코드(game_manager.js)
• 위키백과: 2048 (video game)