페그 솔리테어 해법 — 31수로 가운데 한 개만 남기는 순서

페그 솔리테어는 규칙이 한 줄로 끝나는데도 처음 해 보면 대여섯 개가 흩어진 채로 막히는 퍼즐입니다. 어디서 틀렸는지 화면이 알려 주지 않기 때문입니다. 이 글은 두 가지를 다룹니다. 가운데에 한 개만 남기는 31수 풀이를 한 수씩 적었고, 그 풀이가 왜 어려운지를 게임 규칙 전체를 컴퓨터로 훑어서 숫자로 보였습니다.

한눈에 보기

화면 위쪽의 남은 말과 움직인 수는 항상 합이 32입니다. 한 번 뛸 때마다 말이 하나 줄기 때문에, 31수째에 남은 말이 1이면 끝까지 한 수도 낭비하지 않은 것입니다.

이 글의 풀이와 통계는 가운데가 비어 있는 새 판 기준입니다. 오늘의 판은 날마다 다른 칸 하나가 비어 있는 판으로 시작하고, 그 칸에 마지막 한 개를 남기면 완벽한 풀이가 됩니다. 칸 수, 뛰는 법, 31번이라는 횟수는 같지만 아래 순서표는 그대로 쓸 수 없습니다.

칸을 부르는 방법

아래 풀이는 칸을 행·열로 적습니다. 위에서 아래로 1행~7행, 왼쪽에서 오른쪽으로 1열~7열입니다. 1·2·6·7행에는 3~5열 칸만 있고, 3·4·5행에는 1~7열이 모두 있습니다. 가운데 칸이 4행 4열입니다. 게임에서 칸에 포커스를 두면 스크린 리더 이름표도 같은 "N행 M열" 방식이라, 방향키로 칸을 옮기며 확인할 수 있습니다.

가운데에 한 개를 남기는 31수

아래 표는 게임의 엔진 규칙으로 한 수씩 재생해 확인한 순서입니다. 31수 모두 그 시점에 합법이었고, 마지막에 말이 1개, 가운데에 남고 더 뛸 수 없는 상태가 됐습니다. 마지막 열 "남은 말"은 화면에 보이는 숫자와 같아야 합니다. 어긋나면 그 줄에서 잘못 뛴 것이니 무르기(Z)로 돌아가세요.

한 수의 의미는 "움직이는 말이 사라지는 말을 뛰어넘어 도착 칸에 앉는다"입니다. 예를 들어 1수는 2행 4열의 말이 3행 4열의 말을 넘어 4행 4열(가운데)로 가고, 3행 4열 말은 판에서 빠집니다. 이 풀이는 탐색으로 찾은 여러 가지 중 하나라서, 중간에 다른 풀이로 갈아탈 수도 있고 첫 수를 판 방향에 맞게 돌려서 써도 됩니다.

이 퍼즐이 어려운 이유

게임 규칙 그대로 첫 모양에서 갈 수 있는 모든 판을 끝까지 훑었습니다. 같은 모양은 한 번만 세어 도달할 수 있는 판 모양이 187,636,299가지입니다. 이 가운데 지금부터 계속 두면 가운데에 한 개를 남길 수 있는 모양은 13,428,122가지, 7.2%입니다.

그 비율은 진행에 따라 이렇게 줄어듭니다. 열은 "이 단계에 도달할 수 있는 모양 중 아직 가운데 한 개로 끝낼 수 있는 모양의 비율"입니다.

첫 몇 수는 어떻게 두어도 거의 다 풀립니다. 4수째까지 296가지 중 292가지가 아직 풀 수 있는 모양입니다. 갈림길은 10~15수 사이입니다. 12수째에 길이 막힌 모양이 78%, 15수째에는 91%입니다. 막힌 줄도 모르고 더 두는 것이 가장 흔한 실수입니다. 그 뒤로는 수를 아무리 잘 골라도 가운데 한 개는 안 나옵니다.

게임에서 막혔을 때 바로 새 판을 시작하기보다, 비율이 절반 아래로 꺾이는 10수 이전(7~10수째까지)으로 무르는 것이 이 표가 가리키는 방향입니다. 무르기는 횟수 제한이 없고 기록에도 영향이 없습니다.

첫 수와 둘째 수는 걱정하지 않아도 된다

첫 수가 될 수 있는 4가지는 판을 90도씩 돌리면 서로 겹치는 같은 수입니다. 어느 쪽으로 시작해도 이어서 둘 수 있는 둘째 수는 3가지씩이고, 그 3가지 모두 가운데 한 개로 이어지는 길이 남아 있습니다. 4가지 첫 수 모두 마찬가지였습니다. 처음 두 수에서는 틀릴 수가 없습니다.

가운데가 아니어도 한 개는 남길 수 있다

끝까지 두어 말이 1개만 남는 판 모양은 모두 5가지입니다. 가운데(4행 4열), 그리고 네 팔의 끝 가운데 칸인 1행 4열, 4행 1열, 4행 7열, 7행 4열입니다. 게임은 이 둘을 구분해서 가운데이면 "완벽해요", 다른 칸이면 "천재예요"를 띄웁니다. 31수를 꼭 가운데로 끝내려 하지 말고, 한 개를 남기는 길이 이미 보이면 거기서 끝내도 두 번째로 좋은 기록입니다.

기록과 점수는 어떻게 매겨지나

게임의 점수는 시간이나 수가 아니라 더 뛸 수 없을 때 남은 말 개수입니다. 적을수록 좋고, 최고 기록은 이 브라우저에만 저장됩니다. 결과 화면 문구는 남은 말 개수로 정해집니다.

기준을 잡으려고 같은 규칙으로 말을 무작위로 뛰게 한 판을 20만 번 돌렸습니다(가상 실험, 시작 값은 고정). 평균 24.4번을 뛰고 평균 7.6개가 남았습니다. 가장 많이 나온 결과는 7개(24.8%)였고, 4개 이하는 3.5%, 2개는 20판(0.01%)이었으며 1개를 남긴 판은 없었습니다. 그러니 일부러 고르며 두어 4개 이하로 끝냈다면 이미 무작위의 상위 3.5% 안에 든 것입니다. 5개 이하는 무작위로도 11.5%입니다.

흔한 실수

• 보이는 수를 아무거나 고르기. 위 실험처럼 평균 7.6개가 남습니다. 어느 수가 길을 막는지 화면은 알려 주지 않으니, 뛰기 전에 그 수 다음 모양을 한 번 그려 보세요.
• 막혔는데 새 판으로 가기. 위 표에서 비율이 급하게 꺾이는 구간이 10~15수입니다. 새 판은 앞쪽 수를 전부 버리지만 무르기는 갈림길 바로 앞까지만 돌아갑니다.
• 가운데 한 개에 집착하기. 한 개를 남기는 끝이 5가지라는 점을 기억하세요. 나머지 네 칸으로 끝난 판은 가운데가 아닌 것뿐 31수를 모두 맞게 둔 것입니다.
• 풀이를 눈으로만 외우기. 위 표는 한 수만 어긋나도 이후가 안 맞습니다. 표를 따라 두다가 "남은 말" 숫자가 표와 달라지면 그 줄에서 무르기를 누르세요.

이 글의 숫자는 어디서 왔나

페그 솔리테어는 화면 위쪽에 남은 말, 움직인 수, 최소 남은 말(최고 기록)을 항상 보여 주고, 판이 끝나면 위의 결과 문구와 함께 남은 말 개수를 띄웁니다. 33칸 판, 말 32개, 시작 때 가운데만 비어 있다는 것, 가운데로 들어오는 첫 수가 4가지뿐이라는 것은 모두 게임을 열면 바로 확인됩니다.

판 모양 187,636,299가지, 풀 수 있는 모양 13,428,122가지, 끝 모양 5가지는 같은 규칙으로 첫 모양에서 갈 수 있는 모든 판을 컴퓨터로 끝까지 훑어 얻은 계산값입니다. 31수 풀이는 게임 엔진에 한 수씩 입력해 모두 합법인지, 마지막 모양이 가운데 한 개인지 확인했습니다. 앞쪽 수의 개수는 엔진으로도 따로 세어 훑기 결과와 같았습니다. 1수 뒤 4가지, 2수 뒤 12가지, 3수 뒤 60가지, 6수 뒤 5,648가지 모양입니다. 무작위 20만 판은 가상 실험이라 시작 값에 따라 소수점 아래가 조금 달라질 수 있습니다.

같은 방식으로 규칙 표에서 평균 비용을 계산한 글로 검 강화하기 평균 비용이 있습니다. 머리로 푸는 다른 게임이 필요하면 지뢰찾기나 오목이 있습니다.