사천성 규칙 정리 — 꺾임 두 번 길, 섞기·힌트, 무작위로 지워도 97%

사천성은 규칙이 한 줄로 끝납니다. 같은 그림 두 개를 두 번 이하로 꺾이는 빈 길로 이으면 사라집니다. 막상 해 보면 "이게 왜 안 이어지지?"가 가장 자주 나오는 질문인데, 답은 거의 항상 꺾임 수를 세는 방식과 가장자리 테두리에 있습니다. 이 글은 그 규칙을 게임 엔진에 작은 판을 직접 넣어 확인한 결과로 풀고, 판이 막힐 확률과 섞기·힌트의 값어치를 컴퓨터로 센 숫자로 보입니다.

한눈에 보기

기준은 이 글을 쓴 날 사이트에 올라가 있는 사천성입니다. 시간 제한은 없고 시계는 올라가기만 하며, 다른 탭으로 가면 자동으로 멈춥니다.

이어지는 길: 꺾임 두 번이 뜻하는 것

두 패를 잇는 선은 가로·세로 직선만 쓰고, 방향을 바꾸는 곳이 두 군데 이하여야 합니다. 직선 하나, ㄱ자 하나, ㄷ자·ㄹ자 둘까지입니다. 선은 다른 패 위를 지나갈 수 없습니다. 아래는 게임 엔진의 길 찾기 함수에 작은 판을 넣어 본 결과입니다. 판은 줄 단위로 적었고 A가 이을 두 패, X는 다른 그림의 패, .는 빈칸입니다.

세 번째 줄에서 알 수 있듯 "선이 지나가는 칸"이 비어 있어야 하지, 두 패가 같은 줄에 있어야 하는 것이 아닙니다. 네 번째 줄은 두 패가 서로 다른 줄·다른 칸에 있어도 사이의 빈 줄을 타면 이어진다는 예입니다. 반대로 마지막 줄은 빈칸이 이어져 있어도 길이 세 번 이상 꺾여야 하면 안 이어지는 경우입니다. 두 패를 눌렀는데 "같은 패지만 꺾임 두 번 안에 이어지지 않아요"가 뜨면, 그 사이를 막은 패를 먼저 치우거나 다른 짝을 찾으라는 신호입니다.

가장자리는 어디까지 유리한가

판 바깥에는 패가 없는 한 칸 두께의 테두리가 있고, 이 테두리는 길로 쓸 수 있습니다. 그래서 가장자리 패는 판 위에 무엇이 남아 있든 바깥으로 돌아서 이어질 수 있습니다. 엔진에 판을 가득 채운 같은 패를 넣고 맨 윗줄·맨 아랫줄·맨 왼쪽 열·맨 오른쪽 열 안에서 가능한 모든 두 패 조합을 시험했습니다.

같은 변 위의 두 패는 바깥으로 올라갔다가 가로질러 내려오면 꺾임이 두 번이라 다른 패가 아무리 많아도 이어집니다. 같은 그림 두 개가 윗줄에 있다면 지금 바로 지울 수 있다는 뜻입니다. 단, 윗줄 패와 왼쪽 열 패처럼 서로 다른 변에 있으면 바깥으로 도는 길이 세 번 꺾여서 이어지지 않습니다. 가장자리 패가 전체의 절반 가까이(쉬움 50%, 보통 약 40%, 어려움 약 36%)라, 처음엔 바깥 줄부터 훑는 것이 빠릅니다.

판 세 종류와 패 종류

패는 모양 7가지(동그라미·네모·세모·마름모·별·하트·육각형)와 색 4가지(주홍·청록·남색·황토)를 곱한 28종이 있고, 왼쪽 위 점 1~4개로 색을 따로 알려 줍니다. 판마다 쓰는 종류 수가 다르고, 어떤 판이든 같은 그림은 4개입니다.

"최소 클릭"은 한 번도 틀리지 않았을 때 패 하나당 한 번씩 누르는 횟수입니다. 가상으로 한 쌍에 3초가 걸린다고 두면 쉬움은 72초, 보통은 126초, 어려움은 168초입니다. 같은 가정에서 힌트 한 번의 15초 가산은 다섯 쌍을 지우는 시간과 같습니다.

오늘의 판은 보통 크기(12×7)이고 날짜(한국 시각)로 정해진 판이라 같은 날에는 누구에게나 같은 배치입니다. 최고 기록은 쉬움·보통·어려움과 그날의 오늘의 판이 따로 저장됩니다. 작은 화면에서는 판이 세로로 돌아가 그려지지만 규칙과 길은 그대로입니다.

막힘 판정과 섞기

게임은 패를 하나 지울 때마다, 그리고 섞을 때마다 이을 수 있는 짝이 하나라도 남았는지 검사합니다. 하나도 없으면 두 가지 중 하나입니다.

• 섞기가 남아 있으면 "이을 수 있는 짝이 없어요. 섞기를 눌러 남은 패를 다시 놓으세요"가 뜨고 판은 계속됩니다.
• 섞기를 다 썼다면 그 판은 끝납니다. 남은 패 수가 표시되고 기록은 남지 않습니다.

섞기는 남은 패를 같은 자리 안에서 다시 놓는 것입니다. 이미 치운 칸은 그대로 비어 있고, 그림별 남은 개수도 그대로입니다. 다시 놓는 방식도 처음 판을 만들 때와 같아서, 섞은 뒤의 판에는 끝까지 지우는 순서가 반드시 하나 이상 있습니다. 시간은 더해지지 않고, 이을 짝이 있을 때도 누를 수 있습니다. 즉 섞기 2번은 "막혔을 때 쓰는 구제"이면서 아무 때나 쓸 수 있는 도구이기도 합니다. 막히지 않았는데 쓰면 두 번뿐인 기회가 줄어드니, 쓰기 전에 짝이 정말 없는지 한 번 더 훑어보는 편이 낫습니다.

판을 만드는 방식은 이렇습니다. 두 칸을 골라 한 쌍으로 삼되, 먼저 고른 쌍을 이미 치운 것으로 치고도 길이 이어지는 칸만 고릅니다. 이 순서를 따라 쌍마다 그림 하나를 붙이므로, 먼저 고른 쌍부터 지우면 판이 반드시 비워집니다. 그러나 사람이 그 순서를 알고 지우는 것은 아니므로 다른 순서로 지우다 보면 막힐 수 있습니다.

힌트와 시간

• 힌트는 판마다 3번이고, 이을 수 있는 한 쌍을 깜빡입니다. 쓸 때마다 기록에 15초가 더해집니다. 3번 모두 쓰면 45초입니다.
• 힌트를 눌렀는데 이을 짝이 없으면 "이을 수 있는 짝이 없어요. 섞기를 쓰세요"만 뜨고 힌트 횟수는 줄지 않습니다.
• 힌트가 가리키는 쌍은 위쪽 줄에서 먼저 보이는 그림부터 이을 수 있는 쌍을 찾은 것이라, "가장 좋은 수"를 알려 주는 것이 아니라 "되는 수 하나"를 알려 줍니다.
• 시계는 판을 시작하면 올라가고, 일시정지(P)·다른 탭으로 이동하면 멈춥니다. 최종 기록은 시계 초(반올림)에 힌트 가산을 더한 값이며 쉬움·보통·어려움·오늘의 판 중 가장 빠른 값만 저장됩니다. 저장 위치는 이 브라우저입니다.

무작위로 지워도 끝까지 풀릴까 (가상 실험)

판이 막히는 일이 얼마나 흔한지 알기 위해, 판 크기마다 2,000판을 컴퓨터에 풀게 했습니다. 이것은 가상 실험입니다. 판은 게임이 쓰는 방식 그대로 만들되 시작 값을 고정했고(판 번호 1~2,000에서 같은 식으로 시작 값을 계산), 매번 이을 수 있는 쌍 전부 중에서 하나를 같은 확률로 골라 지웠습니다. 이을 쌍이 없으면 섞기를 쓰고, 섞기도 두 번을 다 써도 막히면 실패로 셌습니다.

세 판을 합친 6,000판 중 섞기 없이 끝난 판이 5,836판(97.3%), 섞기를 한 번 쓴 판이 164판(2.7%)이고, 섞기를 두 번 쓴 판과 끝까지 못 푼 판은 없었습니다. 섞기를 쓴 164번 모두 섞은 직후에 이을 짝이 남아 있었습니다. 2,000판 기준 비율은 소수점 첫째 자리 오차 범위(약 ±0.8%p)를 감안해서 읽으세요. 판 크기 사이의 차이는 이 범위 안입니다.

처음 막히는 시점은 판 크기에 따라 다릅니다. 막힌 판에서 그때 남은 패 수의 중앙값은 쉬움 16개(48패 중), 보통 28개(84패 중), 어려움 38개(112패 중)였습니다. 가장 늦게 막힌 판은 4개가 남았을 때였고, 남은 패가 8개 이하일 때 막힌 비율은 쉬움 56판 중 16판, 보통 53판 중 6판, 어려움 55판 중 5판입니다. 막힐 때 남은 패가 몇 개이든 섞기 한 번으로 모두 풀렸습니다.

순서를 고르면 달라질까

같은 시작 값에서 규칙만 바꿔 다시 풀어 봤습니다.

각 칸은 섞기 없이 끝난 판의 비율(2,000판)입니다. 대부분 97% 안팎이고(힌트만 따랐을 때 어려움이 95.9%로 가장 낮았습니다), 두 번째 규칙처럼 "남은 두 개가 갇히지 않게 짝을 고른다"는 요령이 숫자로 드러나는 이득은 이 실험에서 보이지 않았습니다. 지우는 순서를 고민하는 시간보다 짝을 눈으로 빨리 찾는 속도가 기록을 좌우하는 이유입니다.

처음 놓인 판에서 바로 지울 수 있는 쌍의 수도 셌습니다.

흔한 실수

• 가운데 패부터 찾기. 가운데 패는 사방이 다른 패로 막혀 있어, 바로 옆에 같은 그림이 없으면 처음엔 이어질 길이 없습니다. 위 표처럼 가장자리 패는 같은 변 위의 같은 그림이면 언제든 이어지니, 바깥 줄부터 지우며 안쪽 길을 여는 것이 빠릅니다.
• 꺾임을 눈으로만 세기. 선이 이어진 듯 보여도 중간 칸에 다른 패가 하나 끼어 있거나 굽이가 세 번 필요하면 안 됩니다. 같은 그림 두 개를 연달아 눌러서 흔들리면 실패한 것이니, 사이의 막힌 패를 먼저 치우세요.
• 어느 둘을 이을지 오래 고민하기. 같은 그림은 4개라 짝지을 방법이 여럿이지만, 위 실험에서 이 선택은 결과에 거의 차이가 없었습니다. 이어지는 쌍이 보이면 바로 지우세요.
• 힌트를 아껴 두다 못 쓰기. 힌트의 값은 15초이고 3번을 다 써도 45초입니다. 막혀서 서성이는 시간이 15초를 넘길 때 쓰면 이득이고, 막힌 것이 아니라 "이을 짝이 없는" 상태라면 힌트가 아니라 섞기가 답입니다.
• 섞기를 일찍 쓰기. 이을 짝이 있어도 섞기를 누를 수 있지만 그러면 2번 중 하나가 사라집니다. 막힘 알림이 뜬 뒤에 쓰세요. 위 실험에서는 어떤 판도 섞기 한 번 이상이 필요하지 않았습니다.

이 글의 숫자는 어디서 왔나

사천성의 판 크기, 패 수, 섞기 2번, 힌트 3번과 15초 가산, 오늘의 판이 보통 크기라는 것, 최고 기록이 시간(초)이라는 것은 게임 화면의 판 고르기 안내와 결과 화면, 도움말에 표시된 값과 같습니다. 길이 이어지는 규칙의 예시와 가장자리 조합은 게임이 쓰는 길 찾기 함수에 같은 판을 넣어 확인했고, 쓰는 그림 종류와 패 수 계산도 같은 코드로 세었습니다.

2,000판 실험은 모든 값이 가상입니다. 판은 게임과 같은 방식으로 만들고, 위의 방식으로 시작 값을 고정했으며, 사람이 아니라 정해진 규칙으로 지웠기 때문에 실제 사람의 승률이나 풀이 시간과는 다릅니다. 시작 값을 바꾸면 비율이 소수점 첫째 자리에서 달라질 수 있고, 판 크기 사이의 차이는 그 오차 안에 있습니다. "한 쌍에 3초" 같은 시간은 계산 예시일 뿐 측정값이 아닙니다.

다른 규칙 퍼즐도 같은 방식으로 풀어 본 글로 페그 솔리테어 해법과 하노이의 탑 최소 이동 횟수가 있습니다. 비슷한 짝 맞추기로는 메모리 매치도 있습니다.